与えられた積分 $\int \frac{x-2}{\sqrt{2x-3}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x-2}{\sqrt{2x-3}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = 2x - 3$ と置換します。すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ です。また、$x = \frac{u+3}{2}$ となります。これらを積分に代入すると、

$\int \frac{x-2}{\sqrt{2x-3}} dx = \int \frac{\frac{u+3}{2} - 2}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \int \frac{\frac{u+3-4}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du$

$\frac{1}{4} \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{4} \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du$

この積分を計算します。

$\frac{1}{4} \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du = \frac{1}{4} (\frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2}) + C = \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{3/2} - 2 u^{1/2}) + C = \frac{1}{6} u^{3/2} - \frac{1}{2} u^{1/2} + C$

最後に、$u = 2x - 3$ を代入して元の変数に戻します。

$\frac{1}{6} (2x-3)^{3/2} - \frac{1}{2} (2x-3)^{1/2} + C$

さらに整理します。

$\frac{1}{6} (2x-3)^{3/2} - \frac{1}{2} (2x-3)^{1/2} + C = \frac{1}{6} (2x-3)^{1/2} [(2x-3) - 3] + C = \frac{1}{6} (2x-3)^{1/2} (2x-6) + C = \frac{1}{3} (x-3) \sqrt{2x-3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} (x-3) \sqrt{2x-3} + C$