$y = \cos^2 x$のとき、$y^{(3)}$（$y$の3階導関数）を求めよ。

1. 問題の内容

$y = \cos^2 x$のとき、$y^{(3)}$（$y$の3階導関数）を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos^2 x$を三角関数の倍角の公式を用いて変形する。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

よって、

$y = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$

次に、1階導関数$y'$を求める。

$y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\right) = 0 + \frac{1}{2}(-\sin 2x) \cdot 2 = -\sin 2x$

次に、2階導関数$y''$を求める。

$y'' = \frac{d}{dx} (-\sin 2x) = -\cos 2x \cdot 2 = -2\cos 2x$

次に、3階導関数$y^{(3)}$を求める。

$y^{(3)} = \frac{d}{dx} (-2\cos 2x) = -2(-\sin 2x) \cdot 2 = 4\sin 2x$

3. 最終的な答え

$y^{(3)} = 4\sin 2x$