以下の極限を求めます。 $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} $$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

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\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}}

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2. 解き方の手順

まず、$a_n = \frac{n!}{n^n}$とおき、$L = \lim_{n \to \infty} (a_n)^{\frac{1}{n}}$を求めます。両辺の対数をとると、

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \left( \frac{n!}{n^n} \right)

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ \log(n!) - \log(n^n) \right] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ \log(n!) - n \log n \right]

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k - \log n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\log k - \log n)

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\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left( \frac{k}{n} \right)

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これはリーマン和なので積分で表現できます。

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\log L = \int_{0}^{1} \log x dx

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部分積分を用いてこの積分を計算します。

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\int_{0}^{1} \log x dx = \left[ x \log x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{1}{x} dx = \left[ x \log x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 dx

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$x \log x$ の $x \to 0$ での極限は0なので、

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\int_{0}^{1} \log x dx = (1 \cdot \log 1 - 0) - [x]_{0}^{1} = 0 - (1-0) = -1

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したがって、$\log L = -1$ より、$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

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\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{e}

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