与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。 関数は $f(x) = \frac{(2x + 1)(3x - 1)}{x^2 + 2x + 3}$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。

関数は $f(x) = \frac{(2x + 1)(3x - 1)}{x^2 + 2x + 3}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$(2x + 1)(3x - 1) = 6x^2 - 2x + 3x - 1 = 6x^2 + x - 1$

したがって、関数は

$f(x) = \frac{6x^2 + x - 1}{x^2 + 2x + 3}$

となります。

次に、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\frac{6x^2 + x - 1}{x^2 + 2x + 3} = \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}$

$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{6 + 0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{6}{1} = 6$

3. 最終的な答え

6