$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 3x} - ax$ を変形します。

$\sqrt{x^2 + 3x} - ax = \frac{(\sqrt{x^2 + 3x} - ax)(\sqrt{x^2 + 3x} + ax)}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax}$

$= \frac{(x^2 + 3x) - (ax)^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax}$

$= \frac{(1 - a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax}$

$= \frac{(1 - a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x})} + ax}$

$= \frac{(1 - a^2)x^2 + 3x}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + ax}$

$= \frac{(1 - a^2)x + 3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + a}$

ここで、$x \to \infty$のとき、$\frac{3}{x} \to 0$ であることに注意します。

もし $1 - a^2 \neq 0$ なら、$\lim_{x \to \infty} \frac{(1 - a^2)x + 3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + a} = \pm \infty$ となり、極限は収束しません。

したがって、極限が収束するためには、$1 - a^2 = 0$ である必要があります。つまり、$a = \pm 1$です。

$a = 1$のとき、$\frac{(1 - a^2)x + 3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + a} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1}$ となり、$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{2}$

$a = -1$のとき、$\sqrt{x^2 + 3x} + x \to \infty$となり、極限は収束しません。

したがって、$a = 1$ のとき、極限は $\frac{3}{2}$ に収束します。

3. 最終的な答え

$a = 1$のとき、極限値は $\frac{3}{2}$