$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ なので、$x < 0$ であることに注意します。

まず、$\sqrt{x^2+2x} + x$ に共役な式 $\sqrt{x^2+2x} - x$ を分母分子にかけます。

$\sqrt{x^2+2x} + x = \frac{(\sqrt{x^2+2x} + x)(\sqrt{x^2+2x} - x)}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{(x^2+2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x}$

ここで、$x < 0$ なので $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ であることに注意して、$\sqrt{x^2}$ で分母分子を割ります。

$\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} - x} = \frac{2x}{|x| \sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{ -x \sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{-x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}$

ここで、$x \to -\infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ なので、$\sqrt{1 + \frac{2}{x}} \to \sqrt{1 + 0} = 1$ となります。したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(1 + 1)} = \frac{2}{-2} = -1$

3. 最終的な答え

-1