与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を有理化するために、$\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})(\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1})}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}}$

分子を計算すると：

$(\sqrt{x^2 + 2x + 3})^2 - (\sqrt{x^2 - 2x + 1})^2 = (x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 2x + 1) = 4x + 2$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}}$

分母と分子を $x$ で割ります。ただし、分母では$\sqrt{x^2} = |x|$ であり、$x \to \infty$ なので $x>0$ とみなして$\sqrt{x^2} = x$として計算を進めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}} = \frac{4 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{4}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

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