次の3つの式を簡単にせよ。 (1) $\frac{9}{\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{45} + \frac{20}{\sqrt{5}}$ (3) $\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{27}{\sqrt{6}}$

1. 問題の内容

次の3つの式を簡単にせよ。

(1) $\frac{9}{\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{45} + \frac{20}{\sqrt{5}}$

(3) $\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{27}{\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行う。分母と分子に$\sqrt{3}$をかける。

$\frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{45}$を簡単にする。 $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\frac{20}{\sqrt{5}}$を分母の有理化する。分母と分子に$\sqrt{5}$をかける。

$\frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$

よって、 $\sqrt{45} + \frac{20}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$

(3) $\frac{3}{\sqrt{2}}$を分母の有理化する。分母と分子に$\sqrt{2}$をかける。

$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\frac{27}{\sqrt{6}}$を分母の有理化する。分母と分子に$\sqrt{6}$をかける。

$\frac{27}{\sqrt{6}} = \frac{27 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{27\sqrt{6}}{6} = \frac{9\sqrt{6}}{2}$

よって、 $\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{27}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{9\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - 9\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{3}$

(2) $7\sqrt{5}$

(3) $\frac{3\sqrt{2} - 9\sqrt{6}}{2}$