自然数 $k$ を小さい順に $k$ 個ずつ並べてできる数列:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... について、以下の問いに答えます。 (1) 自然数 $n$ が初めて現れるのは第何項か、$n$ を用いて表します。 (2) 第50項を求めます。 (3) 初項から第50項までの和を求めます。
2025/7/24
1. 問題の内容
自然数 を小さい順に 個ずつ並べてできる数列:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... について、以下の問いに答えます。
(1) 自然数 が初めて現れるのは第何項か、 を用いて表します。
(2) 第50項を求めます。
(3) 初項から第50項までの和を求めます。
2. 解き方の手順
(1) 自然数 が初めて現れる項数を求めます。
数列の規則性から、1は1個、2は2個、3は3個、...、 は 個並んでいます。
したがって、 が初めて現れるのは、数列の第
項です。
から までの和は、等差数列の和の公式を用いて計算できます。
したがって、 が初めて現れるのは第
項です。
(2) 第50項を求めます。
が 個並んだ項の最後の項の番号は、 です。
を満たす最大の整数 を求めます。
となる最大の を探すと、 のとき 、 のとき なので、 です。
したがって、第45項は9で、第46項から第55項までは10です。
よって、第50項は10です。
(3) 初項から第50項までの和を求めます。
初項から第45項までの和は、
より、
第46項から第50項までは、すべて10なので、その和は
したがって、初項から第50項までの和は、
3. 最終的な答え
(1)
(2) 10
(3) 335