自然数 $k$ を小さい順に $k$ 個ずつ並べてできる数列:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... について、以下の問いに答えます。 (1) 自然数 $n$ が初めて現れるのは第何項か、$n$ を用いて表します。 (2) 第50項を求めます。 (3) 初項から第50項までの和を求めます。

算数数列等差数列規則性
2025/7/24

1. 問題の内容

自然数 kk を小さい順に kk 個ずつ並べてできる数列:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... について、以下の問いに答えます。
(1) 自然数 nn が初めて現れるのは第何項か、nn を用いて表します。
(2) 第50項を求めます。
(3) 初項から第50項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 自然数 nn が初めて現れる項数を求めます。
数列の規則性から、1は1個、2は2個、3は3個、...、nnnn 個並んでいます。
したがって、nn が初めて現れるのは、数列の第
1+2+3+...+(n1)+11 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1
項です。
11 から n1n-1 までの和は、等差数列の和の公式を用いて計算できます。
1+2+3+...+(n1)=(n1)(1+n1)2=n(n1)21 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)(1 + n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}
したがって、nn が初めて現れるのは第
n(n1)2+1\frac{n(n-1)}{2} + 1
項です。
(2) 第50項を求めます。
mmmm 個並んだ項の最後の項の番号は、1+2+...+m=m(m+1)21 + 2 + ... + m = \frac{m(m+1)}{2} です。
m(m+1)250\frac{m(m+1)}{2} \le 50 を満たす最大の整数 mm を求めます。
m(m+1)100m(m+1) \le 100 となる最大の mm を探すと、m=9m = 9 のとき 9×10=901009 \times 10 = 90 \le 100m=10m = 10 のとき 10×11=110>10010 \times 11 = 110 > 100 なので、m=9m = 9 です。
1+2+...+9=9×102=451 + 2 + ... + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45
したがって、第45項は9で、第46項から第55項までは10です。
よって、第50項は10です。
(3) 初項から第50項までの和を求めます。
初項から第45項までの和は、
1×1+2×2+3×3+...+9×9=k=19k21 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + 9 \times 9 = \sum_{k=1}^{9} k^2
k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} より、
k=19k2=9×10×196=17106=285\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = \frac{1710}{6} = 285
第46項から第50項までは、すべて10なので、その和は
10×(5045)=10×5=5010 \times (50 - 45) = 10 \times 5 = 50
したがって、初項から第50項までの和は、
285+50=335285 + 50 = 335

3. 最終的な答え

(1) n(n1)2+1\frac{n(n-1)}{2} + 1
(2) 10
(3) 335

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