問題3 (1): 半径3cmの半円を直径を軸として回転させた立体の体積を求める。 問題4 イ: 上段と下段に碁石を並べるルールに従い、n列目まで並べたとき、n列目が共に白の碁石であり、かつ白と黒の碁石の比が8:11となるnの値を求める。

1. 問題の内容

問題3 (1): 半径3cmの半円を直径を軸として回転させた立体の体積を求める。

問題4 イ: 上段と下段に碁石を並べるルールに従い、n列目まで並べたとき、n列目が共に白の碁石であり、かつ白と黒の碁石の比が8:11となるnの値を求める。

2. 解き方の手順

問題3 (1):

半円を回転させると球になる。

半径rの球の体積は $V = \frac{4}{3} \pi r^3$で求められる。

半径3cmを代入すると、

$V = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi (27) = 36\pi$

問題4 イ:

上段は白黒が交互に並び、下段は黒黒白が繰り返される。

n列目が共に白の碁石である条件から、nは上段では奇数、下段では3の倍数である必要がある。

つまりnは3の倍数かつ奇数である。

n列目まで並べた時の白い碁石と黒い碁石の個数を考える。

上段:

nが奇数なので、白い碁石の数は $\frac{n+1}{2}$、黒い碁石の数は $\frac{n-1}{2}$。

下段:

nが3の倍数なので、$n = 3k$と表せる。

黒い碁石の数は $\frac{2}{3}n$、白い碁石の数は $\frac{1}{3}n$。

白い碁石の合計: $\frac{n+1}{2} + \frac{n}{3}$

黒い碁石の合計: $\frac{n-1}{2} + \frac{2n}{3}$

比が8:11なので、

$\frac{\frac{n+1}{2} + \frac{n}{3}}{\frac{n-1}{2} + \frac{2n}{3}} = \frac{8}{11}$

$\frac{3(n+1) + 2n}{3(n-1) + 4n} = \frac{16}{11}$

$\frac{5n+3}{7n-3} = \frac{16}{22}$

$\frac{5n+3}{7n-3} = \frac{8}{11}$

$11(5n+3) = 8(7n-3)$

$55n + 33 = 56n - 24$

$n = 57$

nが3の倍数で奇数という条件を満たしていることを確認する。

57は3の倍数(57 = 3 * 19)であり、奇数である。

3. 最終的な答え

問題3 (1): $36\pi$

問題4 イ: $n=57$