問題は以下の通りです。 (1) 72 と 108 の最小公倍数と最大公約数を求めなさい。 (2) 42, 56, 84 の最小公倍数と最大公約数を求めなさい。 (3) 200 に最も近い 9 の倍数を求めなさい。 (4) 60 の約数は何個ありますか。 (5) ある整数で 72 を割っても、96 を割っても割り切れます。このような「ある整数」のうち、一番大きい整数を求めなさい。 (6) 5 で割っても 13 で割っても 3 余る 2 桁の整数を求めなさい。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 72 と 108 の最小公倍数と最大公約数を求めなさい。

(2) 42, 56, 84 の最小公倍数と最大公約数を求めなさい。

(3) 200 に最も近い 9 の倍数を求めなさい。

(4) 60 の約数は何個ありますか。

(5) ある整数で 72 を割っても、96 を割っても割り切れます。このような「ある整数」のうち、一番大きい整数を求めなさい。

(6) 5 で割っても 13 で割っても 3 余る 2 桁の整数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 72 と 108 の最小公倍数と最大公約数を求めます。

72 = $2^3 * 3^2$

108 = $2^2 * 3^3$

最大公約数: $2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36$

最小公倍数: $2^3 * 3^3 = 8 * 27 = 216$

(2) 42, 56, 84 の最小公倍数と最大公約数を求めます。

42 = $2 * 3 * 7$

56 = $2^3 * 7$

84 = $2^2 * 3 * 7$

最大公約数: $2 * 7 = 14$

最小公倍数: $2^3 * 3 * 7 = 8 * 3 * 7 = 168$

(3) 200 に最も近い 9 の倍数を求めます。

200 ÷ 9 = 22 余り 2

$9 * 22 = 198$

$9 * 23 = 207$

200 に最も近い 9 の倍数は 198 です。

(4) 60 の約数は何個ありますか。

60 = $2^2 * 3 * 5$

約数の個数: (2+1) * (1+1) * (1+1) = 3 * 2 * 2 = 12 個

(5) ある整数で 72 を割っても、96 を割っても割り切れます。このような「ある整数」のうち、一番大きい整数を求めなさい。

72 と 96 の公約数の中で一番大きいものを求めます。つまり、最大公約数を求めます。

72 = $2^3 * 3^2$

96 = $2^5 * 3$

最大公約数: $2^3 * 3 = 8 * 3 = 24$

(6) 5 で割っても 13 で割っても 3 余る 2 桁の整数を求めなさい。

求める整数を $x$ とすると、$x = 5a + 3$ かつ $x = 13b + 3$ (a, b は整数) と表せます。

したがって、$x-3$ は 5 と 13 の公倍数になります。5 と 13 の最小公倍数は 65 です。

$x-3 = 65k$ (k は整数) と表せます。

$x = 65k + 3$

$k=1$ のとき、$x = 65 + 3 = 68$

$k=2$ のとき、$x = 130 + 3 = 133$

2 桁の整数なので、答えは 68 です。

3. 最終的な答え

(1) 最小公倍数: 216, 最大公約数: 36

(2) 最小公倍数: 168, 最大公約数: 14

(3) 198

(4) 12 個

(5) 24

(6) 68