与えられた数式 $2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32}$ を計算し、簡略化された形で表すことが目標です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32}$ を計算し、簡略化された形で表すことが目標です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を素因数分解し、$\sqrt{2}$ の形に変形します。

$\sqrt{512} = \sqrt{2^9} = \sqrt{2^8 \cdot 2} = \sqrt{(2^4)^2 \cdot 2} = 2^4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = \sqrt{2^4 \cdot 2} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot 2} = 2^2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

これらの結果を元の式に代入します。

$2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32} = 2\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 3(4\sqrt{2})$

次に、括弧を外し、$\sqrt{2}$ でくくります。

$2\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 12\sqrt{2} = (2 + 16 - 12)\sqrt{2}$

最後に、係数を計算します。

$(2 + 16 - 12)\sqrt{2} = (18 - 12)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$