青色と白色のタイルを青、白、白の順に繰り返し、重ならないように左から右に並べる。1行に4枚のタイルを並べたら、次の行に前の行の4枚目に続く色のタイルを左から順に並べていく。 (1) 1行目から9行目までタイルを並べ終えたとき、必要となる青色のタイルの枚数を求める。 (2) $n$ 行目は左から3枚目が青色のタイルとなる。1行目から $n$ 行目までタイルを並べるとき、必要となる青色のタイルの枚数を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

青色と白色のタイルを青、白、白の順に繰り返し、重ならないように左から右に並べる。1行に4枚のタイルを並べたら、次の行に前の行の4枚目に続く色のタイルを左から順に並べていく。

(1) 1行目から9行目までタイルを並べ終えたとき、必要となる青色のタイルの枚数を求める。

(2) $n$ 行目は左から3枚目が青色のタイルとなる。1行目から $n$ 行目までタイルを並べるとき、必要となる青色のタイルの枚数を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 1行目から9行目までの各行の青色のタイルの枚数を調べる。

1行目：1枚

2行目：1枚

3行目：2枚

4行目：1枚

5行目：1枚

6行目：2枚

7行目：1枚

8行目：1枚

9行目：2枚

これらの合計が青色のタイルの総数である。

(2) $n$ 行目は左から3枚目が青色のタイルなので、$n = 3, 7, 11, ...$。これは $n=4k-1$（$k$は自然数）の形である。

$n$ 行目のタイルのパターンは4行ごとに繰り返される。

1行目から4行目までの青色のタイルの枚数は $1 + 1 + 2 + 1 = 5$ 枚。

5行目から8行目までの青色のタイルの枚数は $1 + 2 + 1 + 1 = 5$ 枚。

$n = 4k-1$なので、1行目から $n$ 行目までの青色のタイルの枚数は、4行ずつのセットが $k-1$ セットと、最後の3行となる。

最後の3行は $4k-3, 4k-2, 4k-1$行目となり、それぞれ1枚、1枚、2枚となるので、合計4枚となる。

したがって、1行目から $n$ 行目までの青色のタイルの枚数は $5(k-1) + 4 = 5k - 1$ 枚である。

ここで、$n = 4k - 1$ より、$4k = n + 1$。したがって、$k = \frac{n+1}{4}$。

これを $5k - 1$ に代入すると、 $5(\frac{n+1}{4}) - 1 = \frac{5n+5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{5n+1}{4}$

(1)の答え

$1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 = 12$ 枚

3. 最終的な答え

(1) 12枚

(2) $\frac{5n+1}{4}$