青色と白色のタイルを青白白の順に繰り返し、1行に4枚並べます。次の行は前の行の4枚目に続く色のタイルから並べます。 (1) 1行目から9行目までタイルを並べたとき、必要となる青色のタイルの枚数を求めます。 (2) $n$ 行目は左から3枚目が青色のタイルとなります。1行目から $n$ 行目までタイルを並べるとき、必要となる青色のタイルの枚数を $n$ を用いて表します。

1. 問題の内容

青色と白色のタイルを青白白の順に繰り返し、1行に4枚並べます。次の行は前の行の4枚目に続く色のタイルから並べます。

(1) 1行目から9行目までタイルを並べたとき、必要となる青色のタイルの枚数を求めます。

(2) $n$ 行目は左から3枚目が青色のタイルとなります。1行目から $n$ 行目までタイルを並べるとき、必要となる青色のタイルの枚数を $n$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) 1行目から9行目まで並べたときの青色のタイルの枚数を数えます。

- 1行目：青白白青 → 青2枚

- 2行目：白白青白 → 青1枚

- 3行目：白青白白 → 青1枚

- 4行目：青白白青 → 青2枚

- 5行目：白白青白 → 青1枚

このパターンが繰り返されることに気づきます。

したがって、

- 1行目：2枚

- 2行目：1枚

- 3行目：1枚

- 4行目：2枚

- 5行目：1枚

- 6行目：1枚

- 7行目：2枚

- 8行目：1枚

- 9行目：1枚

合計すると、 $2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 12$ 枚となります。

(2) $n$ 行目まで並べたときの青色のタイルの枚数を $n$ を用いて表します。

$n$ 行目のタイルの並びは、

- $n$ が3で割って1余る場合：青白白青

- $n$ が3で割って2余る場合：白白青白

- $n$ が3で割り切れる場合：白青白白

というパターンを繰り返します。

$n$ 行目までの青タイルの枚数の合計を $S(n)$ とします。

$n$ を3で割った商を $q$、余りを $r$ とすると、$n = 3q + r$ ($r = 0, 1, 2$) と表せます。

$q$ は $n$ 行目までを3行ごとのグループに分けたときのグループ数に対応します。3行で青タイルは $1+1+2 = 4$ 枚あります。

$r=0$ のとき、$S(n) = 4q = \frac{4n}{3}$

$r=1$ のとき、$S(n) = 4q + 2 = \frac{4(n-1)}{3} + 2 = \frac{4n+2}{3}$

$r=2$ のとき、$S(n) = 4q + 3 = \frac{4(n-2)}{3} + 3 = \frac{4n+1}{3}$

$n$ 行目は左から3枚目が青色のタイルなので $n = 3k + 2$ の形で表されます。そのため $S(n)$は、

$q$ グループまででは、$4q$ 枚の青タイルがあります。

$n=3q+1$ のとき、$S(n) = 4q + 2$

$n=3q+2$ のとき、$S(n) = 4q + 3$

$n=3q+3 = 3(q+1)$ のとき、$S(n) = 4(q+1)$

$1$行目は2枚、$2$行目は1枚、$3$行目は1枚です。

$S(3)=4$ なので$4*q=4n/3$とはなりません。

1からn行目までのタイルで、

3で割って1余る数だけ2個

3で割って2余る数と3で割って割り切れる数だけ1個

ある。

したがって、$S(n) = \lfloor \frac{n}{3} \rfloor + \lfloor \frac{n-1}{3} \rfloor+ 2\lfloor \frac{n+1}{3} \rfloor$

$n$を$3k+2$とおくと

$\lfloor \frac{3k+2}{3} \rfloor = k$

$\lfloor \frac{3k+1}{3} \rfloor = k$

$\lfloor \frac{3k+3}{3} \rfloor = k+1$

したがって$S(n)=k+k+2(k+1) = 4k+2=4\lfloor \frac{n}{3} \rfloor+2$

$n$を3で割った余りが0のとき$k=n/3$

$n$を3で割った余りが1のとき$k=(n-1)/3$

$n$を3で割った余りが2のとき$k=(n-2)/3$

したがって

$S(n)= 4 \frac{n-2}{3} +2 = \frac{4n-2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 12枚

(2) $\frac{4n+2}{3}$