問題11：$\sqrt{60n}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい値を求めよ。

1. 問題の内容

問題11：$\sqrt{60n}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{60n}$ が自然数になるためには、$60n$ がある自然数の2乗（平方数）でなければなりません。まず、60を素因数分解します。

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

$60n$ が平方数になるためには、$n$ は少なくとも $3$ と $5$ を素因数として含む必要があります。したがって、$n$ は $3 \times 5 = 15$ の倍数である必要があります。

$n = 3 \times 5 \times k^2$ (kは任意の自然数)

最も小さい $n$ を求めるには、$k = 1$ とします。

$n = 3 \times 5 \times 1^2 = 15$

このとき、$60n = 60 \times 15 = 900 = 30^2$ となり、$\sqrt{60n} = 30$ は自然数となります。

3. 最終的な答え

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