R^3空間内で、与えられた3点を通る平面の方程式を $x, y, z$ の1次式で求める問題です。 (1) 3点 $A(1, 4, 2), B(3, -2, 0), C(2, 1, 3)$ を通る平面 (2) 3点 $O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)$ を通る平面

1. 問題の内容

R^3空間内で、与えられた3点を通る平面の方程式を $x, y, z$ の1次式で求める問題です。

(1) 3点 $A(1, 4, 2), B(3, -2, 0), C(2, 1, 3)$ を通る平面

(2) 3点 $O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)$ を通る平面

2. 解き方の手順

(1) 3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を求めます。

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求めます。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, -2-4, 0-2) = (2, -6, -2)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, 1-4, 3-2) = (1, -3, 1)$

次に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積を計算して、平面の法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。

$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -6 & -2 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (-6 - 6)\vec{i} - (2 - (-2))\vec{j} + (-6 - (-6))\vec{k} = (-12, -4, 0)$

法線ベクトルは $(-12, -4, 0)$ なので、$(3, 1, 0)$ も法線ベクトルとして使用できます。

平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形で表され、法線ベクトルが $(a, b, c)$ に対応します。

したがって、平面の方程式は $3x + y + 0z = d$ となります。

点 $A(1, 4, 2)$ が平面上にあるので、これを代入して $d$ を求めます。

$3(1) + 4 + 0(2) = d$

$d = 3 + 4 = 7$

したがって、平面の方程式は $3x + y = 7$ となります。

(2) 3点 $O, A, B$ を通る平面の方程式を求めます。

ベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を求めます。

$\overrightarrow{OA} = A - O = (1, 2, 3)$

$\overrightarrow{OB} = B - O = (-2, 1, -1)$

次に、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の外積を計算して、平面の法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。

$\vec{n} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2 - 3)\vec{i} - (-1 - (-6))\vec{j} + (1 - (-4))\vec{k} = (-5, -5, 5)$

法線ベクトルは $(-5, -5, 5)$ なので、$(1, 1, -1)$ も法線ベクトルとして使用できます。

平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形で表され、法線ベクトルが $(a, b, c)$ に対応します。

したがって、平面の方程式は $x + y - z = d$ となります。

点 $O(0, 0, 0)$ が平面上にあるので、これを代入して $d$ を求めます。

$0 + 0 - 0 = d$

$d = 0$

したがって、平面の方程式は $x + y - z = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $3x + y = 7$

(2) $x + y - z = 0$