地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bに対して、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$mである。このとき、木PQの高さを求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bに対して、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$mである。このとき、木PQの高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形QABにおいて、$\angle AQB$を求める。

$\angle AQB = 180^\circ - (\angle QAB + \angle QBA) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を用いてQAの長さを求める。

$\frac{BQ}{\sin \angle QAB} = \frac{QA}{\sin \angle QBA}$

$\frac{20}{\sin 45^\circ} = \frac{QA}{\sin 60^\circ}$

$QA = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{6}$

$\triangle PAQ$において、$PQ$の高さを$h$とすると、$\tan 30^\circ = \frac{PQ}{QA} = \frac{h}{QA}$より、

$h = QA \tan 30^\circ = 10\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{\frac{6}{3}} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

木PQの高さは $10\sqrt{2}$ mである。