$A$は鋭角であり、$\tan A = 4$である。このとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$A$は鋭角であり、$\tan A = 4$である。このとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan A$の定義を思い出します。$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ です。

問題文より、$\frac{\sin A}{\cos A} = 4$ です。

次に、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用します。

$\sin A = 4 \cos A$を$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ に代入すると、

$(4 \cos A)^2 + \cos^2 A = 1$

$16 \cos^2 A + \cos^2 A = 1$

$17 \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = \frac{1}{17}$

$A$は鋭角なので、$\cos A > 0$ です。したがって、

$\cos A = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\sin A = 4 \cos A = 4 \times \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\sin A = \frac{4\sqrt{17}}{17}$