Aは鋭角であり、$\sin A = \frac{2}{5}$であるとき、$\cos A$と$\tan A$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題41を解きます。

1. 問題の内容

Aは鋭角であり、$\sin A = \frac{2}{5}$であるとき、$\cos A$と$\tan A$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$という三角関数の基本的な関係式を利用します。

$\sin A = \frac{2}{5}$をこの式に代入すると、

$(\frac{2}{5})^2 + \cos^2 A = 1$

$\frac{4}{25} + \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

Aは鋭角なので、$\cos A > 0$であるから、

$\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$という関係式を利用します。

$\sin A = \frac{2}{5}$と$\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}$を代入すると、

$\tan A = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$

分母の有理化を行うために、分子と分母に$\sqrt{21}$を掛けます。

$\tan A = \frac{2}{\sqrt{21}} \times \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan A = \frac{2\sqrt{21}}{21}$