$A$ は鋭角で、$\cos A = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求める。

1. 問題の内容

$A$ は鋭角で、$\cos A = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して $\sin A$ を求める。

$A$ が鋭角であることから、$\sin A > 0$ であることに注意する。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ に $\cos A = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$$\sin^2 A + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1$$

$$\sin^2 A + \frac{16}{25} = 1$$

$$\sin^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$$

$\sin A > 0$ より、

$$\sin A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ を利用して $\tan A$ を求める。

$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$$

3. 最終的な答え

$\sin A = \frac{3}{5}$

$\tan A = \frac{3}{4}$