四角形ABCDにおいて、AB = $1 + \sqrt{3}$, BC = 2, DA = $2\sqrt{2}$, ∠A = 105°, ∠B = 60°である。対角線ACの長さと四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB = $1 + \sqrt{3}$, BC = 2, DA = $2\sqrt{2}$, ∠A = 105°, ∠B = 60°である。対角線ACの長さと四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

△ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos{B}$

$AC^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \times (1 + \sqrt{3}) \times 2 \times \cos{60°}$

$AC^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) + 4 - 4 \times (1 + \sqrt{3}) \times \frac{1}{2}$

$AC^2 = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2(1 + \sqrt{3})$

$AC^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

$AC = \sqrt{6}$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、△ABCの面積と△ACDの面積の和で求められる。

△ABCの面積 = $\frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{B} = \frac{1}{2} \times (1 + \sqrt{3}) \times 2 \times \sin{60°} = (1 + \sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

△ACDにおいて、∠CAD = αとすると、∠ACD = 180° - 105° - α = 75° - αとなる。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{D}} = \frac{DA}{\sin{C}}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin{D}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin{(75° - \alpha)}}$

∠CDA = ∠D = 360° - 105° - 60° - ∠C = 360° - 165° - ∠C

∠C = 180° - (105° - α) = 75° + α

∠D = 120°

△ACDの面積 = $\frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin{A} = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times 2\sqrt{2} \times \sin{105°}$

∠D = 360° - 105° - 60° - ∠ACB - ∠ACD = 360° - 165° - ∠ACB - ∠ACD

∠BAC = α　とする。

∠BCA = 180 - 60 - α = 120 - α

∠DAC = 105 - α

四角形の内角の和 = 360°

105° + 60° + ∠C + ∠D = 360°

∠C + ∠D = 195°

△ABCの面積 = $\frac{1}{2}(1+\sqrt{3})(2)\sin(60) = (1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

△ADCの面積 = $\frac{1}{2}(2\sqrt{2})(\sqrt{6})\sin(\angle DAC) = \sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{2}\sin(105-\alpha) = 2\sqrt{3}\sin(105-\alpha)$

△ACDの面積を直接求めるのが難しいので、別解を考える。

∠C = 360 - 105 - 60 - D = 195 - D

四角形ABCD = △ABC + △ADC

△ADCにおいて余弦定理

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC*AD*cos(105)$

$CD^2 = 6+8-2\sqrt{6}2\sqrt{2}cos(105)$

$CD^2 = 14-4\sqrt{12}cos(105)$

$CD^2 = 14-8\sqrt{3}cos(105)$

cos105= cos(60+45) = cos60cos45 - sin60sin45 = 1/2 * 1/sqrt(2) - sqrt(3)/2 * 1/sqrt(2) = (1-sqrt(3))/(2sqrt(2))

$CD^2 = 14-8\sqrt{3}(1-\sqrt{3})/(2\sqrt{2})$

$CD^2 = 14 - 4\sqrt{3}(1-\sqrt{3})/\sqrt{2}$

$CD^2 = 14 - 2\sqrt{6}(1-\sqrt{3}) = 14 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{18} = 14 - 2\sqrt{6} + 6\sqrt{2}$

面積は$\frac{3+\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ = $\frac{3+\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

対角線ACの長さは $\sqrt{6}$

四角形ABCDの面積は $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6} + 3 + \sqrt{3}}{2}$