与えられた数の組を小さい順に並べる問題です。 (1) $\sqrt{3}$, $\sqrt[5]{9}$, $\sqrt[7]{27}$ (2) $\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[8]{\frac{1}{8}}$

1. 問題の内容

与えられた数の組を小さい順に並べる問題です。

(1) $\sqrt{3}$, $\sqrt[5]{9}$, $\sqrt[7]{27}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[8]{\frac{1}{8}}$

2. 解き方の手順

(1) 各数を指数表示に変換し、指数を揃えて比較します。

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{9} = (3^2)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{2}{5}}$

$\sqrt[7]{27} = (3^3)^{\frac{1}{7}} = 3^{\frac{3}{7}}$

指数の分母の最小公倍数は $2 \times 5 \times 7 = 70$なので、指数を70で通分します。

$3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{35}{70}}$

$3^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{28}{70}}$

$3^{\frac{3}{7}} = 3^{\frac{30}{70}}$

指数の大小関係は$\frac{28}{70} < \frac{30}{70} < \frac{35}{70}$なので、$3^{\frac{28}{70}} < 3^{\frac{30}{70}} < 3^{\frac{35}{70}}$となります。

(2) 各数を指数表示に変換し、指数を揃えて比較します。

$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$\sqrt[8]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{8}} = (2^{-3})^{\frac{1}{8}} = 2^{-\frac{3}{8}}$

指数の分母の最小公倍数は $2 \times 3 \times 8 = 24$なので、指数を24で通分します。

$2^{-\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{12}{24}}$

$2^{-\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{16}{24}}$

$2^{-\frac{3}{8}} = 2^{-\frac{9}{24}}$

指数の大小関係は$-\frac{16}{24} < -\frac{12}{24} < -\frac{9}{24}$なので、$2^{-\frac{16}{24}} < 2^{-\frac{12}{24}} < 2^{-\frac{9}{24}}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[5]{9}$, $\sqrt[7]{27}$, $\sqrt{3}$

(2) $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[8]{\frac{1}{8}}$