正八角形について、以下の2つの数を求めます。 (1) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (2) 対角線の本数

1. 問題の内容

正八角形について、以下の2つの数を求めます。

(1) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(2) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

正八角形の8個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの記号 $_nC_r$ で表され、計算式は $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

この問題では、$n = 8$ で $r = 4$ なので、

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ となります。

(2) 対角線の本数

正$n$角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。

この問題では、$n = 8$ なので、

$\frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 四角形の個数：70個

(2) 対角線の本数：20本