$\triangle ABC$において、$AB=4$, $BC=2\sqrt{5}$, $\angle ABC=90^\circ$である。 このとき、$AC$を求め、さらに、点$B$を端点とする半直線$BC$上に$B$と異なる点$O$をとり、$O$を中心とし$B$を通る円$O$を考える。 (1) 円$O$が直線$AC$に接するとき、$\triangle ABC$の内心、外心、重心のうちどれが直線$AO$上にあるか。$BO:OC$を求め、円$O$の半径を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB=4$, $BC=2\sqrt{5}$, $\angle ABC=90^\circ$である。

このとき、$AC$を求め、さらに、点$B$を端点とする半直線$BC$上に$B$と異なる点$O$をとり、$O$を中心とし$B$を通る円$O$を考える。

(1) 円$O$が直線$AC$に接するとき、$\triangle ABC$の内心、外心、重心のうちどれが直線$AO$上にあるか。$BO:OC$を求め、円$O$の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、$AC$の長さを求める。$\triangle ABC$は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$

したがって、$AC = \sqrt{36} = 6$

円$O$が直線$AC$に接するとき、$\triangle ABC$の内接円の中心（内心）が直線$AO$上にある。

$BO:OC$を求める。円$O$が直線$AC$に接するので、点$O$から直線$AC$に下ろした垂線の足$D$を考える。すると、$OD$は円$O$の半径となる。また、$OB$も円$O$の半径であるから、$OD = OB$となる。$\angle ACB$の二等分線が$AO$になるので、$O$は内心であり、$AO$は$\angle CAB$の二等分線ではない。また、$O$が外心なら、線分$AC$の中点を通るはずである。$OB = OD$なので、$\triangle ODC$は直角三角形である。

$\angle ABC = 90^\circ$であり、$OD \perp AC$なので、$\triangle ABC \sim \triangle ODC$ではない。

$OB = r$とすると、$OC = BC - BO = 2\sqrt{5} - r$

$\triangle ODC$について、$OD = r$であり、$\angle ODC=90^\circ$である。

また、$O$は内心なので、$AO$は$\angle BAC$の二等分線ではない。

内心から各辺への距離は等しいので、$OD = r$である。

$\triangle ABC$の面積を$S$とすると、$S = \frac{1}{2} AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

また、$S = \frac{1}{2} r (AB + BC + CA) = \frac{1}{2} r (4 + 2\sqrt{5} + 6) = \frac{1}{2} r (10 + 2\sqrt{5}) = r(5+\sqrt{5})$

したがって、$4\sqrt{5} = r(5+\sqrt{5})$

$r = \frac{4\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} (5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{4\sqrt{5}(5-\sqrt{5})}{25-5} = \frac{20\sqrt{5}-20}{20} = \sqrt{5}-1$

$OB = r = \sqrt{5}-1$

$OC = 2\sqrt{5} - r = 2\sqrt{5} - (\sqrt{5}-1) = \sqrt{5}+1$

したがって、$BO:OC = (\sqrt{5}-1):(\sqrt{5}+1) = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{5-1} = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{4} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

したがって、$BO:OC = (\sqrt{5}-1):(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1):(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = (6-2\sqrt{5}):4 = (3-\sqrt{5}):2$

$BO:OC = (\sqrt{5}-1):(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5}-1):(\sqrt{5}+1)$なので、$BO:OC=ウ:エ$より、$BO = \sqrt{5}-1$, $OC = \sqrt{5}+1$だから、$(\sqrt{5}-1):(\sqrt{5}+1)$が答え。

円$O$の半径は$r = \sqrt{5}-1$

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: ① (内心)

ウ: $\sqrt{5}-1$

エ: $\sqrt{5}+1$

オ: 1

カ: $\sqrt{5}$

キ: -1

円Oの半径は$\sqrt{5}-1$