3点 $(-2, 3)$, $(1, 0)$, $(0, -1)$ を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $(-2, 3)$, $(1, 0)$, $(0, -1)$ を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

この円が与えられた3点を通るので、それぞれの点を代入する。

点 $(-2, 3)$ を代入すると、

$(-2)^2 + 3^2 + a(-2) + b(3) + c = 0$

$4 + 9 - 2a + 3b + c = 0$

$-2a + 3b + c = -13$ (1)

点 $(1, 0)$ を代入すると、

$1^2 + 0^2 + a(1) + b(0) + c = 0$

$1 + a + c = 0$

$a + c = -1$ (2)

点 $(0, -1)$ を代入すると、

$0^2 + (-1)^2 + a(0) + b(-1) + c = 0$

$1 - b + c = 0$

$-b + c = -1$ (3)

(2)より $a = -1 - c$, (3)より $b = c + 1$ を(1)に代入すると、

$-2(-1 - c) + 3(c + 1) + c = -13$

$2 + 2c + 3c + 3 + c = -13$

$6c + 5 = -13$

$6c = -18$

$c = -3$

$a = -1 - c = -1 - (-3) = 2$

$b = c + 1 = -3 + 1 = -2$

よって、求める円の方程式は $x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$