2直線 $l: tx - y = t$ と $m: x + ty = 2t + 1$ の交点Pの軌跡を求める問題です。ただし、$x \ne 1$ のときを考え、交点Pが円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ から2点 $(1, 0), (1, 2)$ を除いた図形上にあることが示されています。今回は、この過程を確認し、軌跡を求めます。

はい、了解しました。問題文の画像を参考に、問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2直線 $l: tx - y = t$ と $m: x + ty = 2t + 1$ の交点Pの軌跡を求める問題です。ただし、$x \ne 1$ のときを考え、交点Pが円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ から2点 $(1, 0), (1, 2)$ を除いた図形上にあることが示されています。今回は、この過程を確認し、軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線の方程式からパラメータ $t$ を消去します。

1. 直線 $l$ の方程式 $tx - y = t$ から、$t$ を $x$ と $y$ で表します。

$t(x-1) = y$ より、$x \ne 1$ のとき、$t = \frac{y}{x-1}$ となります。

2. これを直線 $m$ の方程式 $x + ty = 2t + 1$ に代入します。

$x + \frac{y}{x-1}y = 2\frac{y}{x-1} + 1$

3. この式を整理して、$x$ と $y$ の関係式を求めます。

両辺に $x-1$ をかけて、

$x(x-1) + y^2 = 2y + (x-1)$

$x^2 - x + y^2 = 2y + x - 1$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 1 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

4. これは、中心 $(1, 1)$、半径1の円の方程式です。

5. ただし、$x \ne 1$ の条件から、この円上の $x=1$ となる点を考慮する必要があります。$x=1$ を円の方程式に代入すると、

$(1 - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

$(y - 1)^2 = 1$

$y - 1 = \pm 1$

$y = 0, 2$

したがって、円上の点 $(1, 0)$ と $(1, 2)$ は除外されます。

3. 最終的な答え

交点Pの軌跡は、円 $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ 上の点のうち、2点 $(1, 0)$ と $(1, 2)$ を除いたものです。