3辺の長さが $a=4$, $b=3$, $c=2$ である三角形ABCについて、以下の値を求めます。 (1) 面積S (2) 内接円の半径r (3) 外接円の半径R

## 問題5

1. 問題の内容

3辺の長さが $a=4$, $b=3$, $c=2$ である三角形ABCについて、以下の値を求めます。

(1) 面積S

(2) 内接円の半径r

(3) 外接円の半径R

2. 解き方の手順

**(1) 面積S**

ヘロンの公式を用いて面積を求めます。

まず、$s = \frac{a+b+c}{2}$ を計算します。

$s = \frac{4+3+2}{2} = \frac{9}{2}$

ヘロンの公式：

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{\frac{9}{2}(\frac{9}{2}-4)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-2)}$

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}$

$S = \sqrt{\frac{135}{16}}$

$S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

**(2) 内接円の半径r**

面積Sと内接円の半径rの関係式 $S = rs$ を用います。

$S = rs$

$r = \frac{S}{s}$

$r = \frac{\frac{3\sqrt{15}}{4}}{\frac{9}{2}}$

$r = \frac{3\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{2}{9}$

$r = \frac{\sqrt{15}}{6}$

**(3) 外接円の半径R**

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ を用います。

まずは余弦定理を用いて角Aを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$4^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos A$

$16 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$3 = -12 \cos A$

$\cos A = -\frac{1}{4}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

正弦定理より、

$2R = \frac{a}{\sin A}$

$2R = \frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$

$2R = \frac{16}{\sqrt{15}}$

$R = \frac{8}{\sqrt{15}}$

$R = \frac{8\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 面積S: $\frac{3\sqrt{15}}{4}$

(2) 内接円の半径r: $\frac{\sqrt{15}}{6}$

(3) 外接円の半径R: $\frac{8\sqrt{15}}{15}$