ベクトル $\vec{a} = i + 2j + 2k$ と $\vec{b} = 2i + 2j + k$ について、以下の問いに答えます。 (1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさを求めます。 (2) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。 (3) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = i + 2j + 2k$ と $\vec{b} = 2i + 2j + k$ について、以下の問いに答えます。

(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさを求めます。

(2) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。

(3) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさ $|\vec{a}|$ は、各成分の二乗の和の平方根で求められます。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}$

(2) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、各成分同士の積の和で求められます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1)$

(3) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は、次のように計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 2 \cdot 2)i - (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)j + (1 \cdot 2 - 2 \cdot 2)k$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 + 4 + 2 = 8$

(3) $\vec{a} \times \vec{b} = (2 - 4)i - (1 - 4)j + (2 - 4)k = -2i + 3j -2k$

したがって、

(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさは $3$

(2) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は $8$

(3) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は $-2i + 3j - 2k$