半径が6cm、弧の長さが $8\pi$ cmのおうぎ形について、以下の問いに答えます。 (1) 中心角を $x$ 度として、方程式を作ります。 (2) 中心角 $x$ の値を求めます。 (3) おうぎ形の面積を求めます。

1. 問題の内容

半径が6cm、弧の長さが $8\pi$ cmのおうぎ形について、以下の問いに答えます。

(1) 中心角を $x$ 度として、方程式を作ります。

(2) 中心角 $x$ の値を求めます。

(3) おうぎ形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 弧の長さは、円周の長さに中心角の割合をかけたものです。円周の長さは $2\pi r$ であり、半径 $r$ が6cmなので、円周の長さは $2\pi \times 6 = 12\pi$ cmです。中心角は $x$ 度なので、割合は $\frac{x}{360}$ となります。したがって、弧の長さ $8\pi$ cmは、

$12\pi \times \frac{x}{360} = 8\pi$

という方程式で表されます。

(2) (1)で求めた方程式を解いて $x$ を求めます。

$12\pi \times \frac{x}{360} = 8\pi$

$\frac{x}{360} = \frac{8\pi}{12\pi} = \frac{2}{3}$

$x = \frac{2}{3} \times 360 = 240$

(3) おうぎ形の面積は、円の面積に中心角の割合をかけたものです。円の面積は $\pi r^2$ であり、半径 $r$ が6cmなので、円の面積は $\pi \times 6^2 = 36\pi$ cm$^2$です。中心角は240度なので、割合は $\frac{240}{360} = \frac{2}{3}$ となります。したがって、おうぎ形の面積は、

$36\pi \times \frac{2}{3} = 24\pi$ cm$^2$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $12\pi \times \frac{x}{360} = 8\pi$

(2) $x = 240$

(3) $24\pi$ cm$^2$