円に内接する四角形ABCDにおいて、ABは直径、$∠CAB=30°$, $∠DAB=15°$, $AC=6$ である。線分ABとCDの交点をEとするとき、以下の値を求める問題です。 (1) CD, CE (2) $cos75°$ (3) $\triangle CDB$の面積

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、ABは直径、$∠CAB=30°$, $∠DAB=15°$, $AC=6$ である。線分ABとCDの交点をEとするとき、以下の値を求める問題です。

(1) CD, CE

(2) $cos75°$

(3) $\triangle CDB$の面積

2. 解き方の手順

(1) CDの長さを求める。

まず、$∠ACB=90°$（半円の弧に対する円周角）なので、$AB = \frac{AC}{cos30°} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}$

次に、ADの長さを求める。$∠ADB=90°$なので、

$AD = AB \cdot cos15° = 4\sqrt{3} cos15° = 4\sqrt{3} \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \sqrt{18} + \sqrt{6} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$

$∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 30°-15° = 15°$

$\triangle ACD$において、余弦定理より、

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cdot cos15°$

$CD^2 = 6^2 + (3\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 - 2\cdot 6 \cdot (3\sqrt{2} + \sqrt{6}) \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$CD^2 = 36 + (18 + 6 + 6\sqrt{12}) - 3(3\sqrt{2} + \sqrt{6})(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$CD^2 = 60 + 12\sqrt{3} - 3(3\sqrt{12} + 3\sqrt{4} + \sqrt{36} + \sqrt{12}) = 60 + 12\sqrt{3} - 3(6\sqrt{3} + 6 + 6 + 2\sqrt{3}) = 60 + 12\sqrt{3} - 3(8\sqrt{3} + 12) = 60 + 12\sqrt{3} - 24\sqrt{3} - 36 = 24 - 12\sqrt{3}$

よって、$CD = \sqrt{24 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{6(4 - 2\sqrt{3})} = \sqrt{6(3 - 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{6(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{6}(\sqrt{3}-1) = \sqrt{18} - \sqrt{6} = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$

次に、CEの長さを求める。

$∠ABC = 60°$なので、$∠CDB = 60°$

$∠BAD = 15°$なので、$∠BCD = 180°-15° = 165°$

$∠CED = ∠AEB = 180°-30°-15° = 135°$

$\triangle CDE$において、正弦定理より、$\frac{CD}{sin∠CED} = \frac{CE}{sin∠CDE}$

$CE = \frac{CD \cdot sin∠CDE}{sin∠CED} = \frac{(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) \cdot sin60°}{sin135°} = \frac{(3\sqrt{2} - \sqrt{6})\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{(3\sqrt{2} - \sqrt{6})\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3}-3 = 3(\sqrt{3}-1)$

(2) $\triangle ACE$に注目すると、$cos75°$を求める。

$∠AEC = 135°$, $∠ECA = 180°-135°-30° = 15°$

正弦定理より、$\frac{CE}{sin30°} = \frac{AC}{sin135°}$

$CE = \frac{AC \cdot sin30°}{sin135°} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

$\triangle ACE$において、$AE = \frac{AC \cdot sin15°}{sin135°} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3}-3$

よって、$cos75° = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(3) $\triangle CDB$の面積を求める。

$∠CDB = 60°$なので、$\triangle CDB = \frac{1}{2} CD \cdot BD \cdot sin60° = \frac{1}{2}(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) \cdot AD \cdot sin60°$

$BD = AB sin 15 = 4\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) = \sqrt{18} - \sqrt{6} = 3\sqrt{2}-\sqrt{6}$

$CD = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$

$\triangle CDB = \frac{1}{2} (3\sqrt{2}-\sqrt{6})^2 sin(60) = \frac{1}{2} (18 + 6 - 6\sqrt{12}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (24 - 12\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} = (6-\frac{6\sqrt{3}}{2}) \sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 9 = 6\sqrt{3} - 9$

3. 最終的な答え

(1) CD = $3\sqrt{2}-\sqrt{6}$, CE = $3\sqrt{3}-3$

(2) $cos75° = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(3) $\triangle CDB$の面積 = $6\sqrt{3}-9$