底面の半径が3cmの円錐の頂点Aを中心として、平面上を滑ることなく転がしたところ、円錐は元の位置に戻るまでに4回転した。 (1) 円錐の母線ABの長さを求める。 (2) 円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が3cmの円錐の頂点Aを中心として、平面上を滑ることなく転がしたところ、円錐は元の位置に戻るまでに4回転した。

(1) 円錐の母線ABの長さを求める。

(2) 円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐が転がって元の位置に戻るまでに描く円の円周は、円錐の底面の円周の4倍に等しい。

円錐の底面の円周は、$2 \pi \times 3 = 6 \pi$ cm。

円錐が転がって描く円の円周は、$6 \pi \times 4 = 24 \pi$ cm。

円錐が転がって描く円の半径は、$24 \pi = 2 \pi r$ より、$r = 12$ cm。

この半径は、円錐の母線の長さに等しいので、円錐の母線ABの長さは12cm。

(2) 円錐の表面積は、底面積と側面積の和で求められる。

底面積は、$\pi \times 3^2 = 9 \pi$ 平方cm。

側面積は、$\pi r l$ で求められる。ここで、$r$ は底面の半径、$l$ は母線の長さ。

側面積は、$\pi \times 3 \times 12 = 36 \pi$ 平方cm。

したがって、円錐の表面積は、$9 \pi + 36 \pi = 45 \pi$ 平方cm。

3. 最終的な答え

(1) 12 cm

(2) $45\pi$ 平方cm