Aの袋には黒玉3個、白玉2個、Bの袋には黒玉2個、白玉3個が入っている。AとBがそれぞれ自分の袋から2個の玉を同時に取り出す。取り出した黒玉の合計が偶数ならAの勝ち、奇数ならAの負けとする。Aが勝つ確率を求める。

1. 問題の内容

Aの袋には黒玉3個、白玉2個、Bの袋には黒玉2個、白玉3個が入っている。AとBがそれぞれ自分の袋から2個の玉を同時に取り出す。取り出した黒玉の合計が偶数ならAの勝ち、奇数ならAの負けとする。Aが勝つ確率を求める。

2. 解き方の手順

Aが勝つのは、AとBが取り出した黒玉の合計が偶数になる場合である。これは、AとBがともに偶数個の黒玉を取り出すか、ともに奇数個の黒玉を取り出すかのいずれかである。

まず、Aが黒玉を0個、1個、2個取り出す確率をそれぞれ計算する。

Aが黒玉を0個取り出す確率は、

$\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

Aが黒玉を1個取り出す確率は、

$\frac{{}_3C_1 \cdot {}_2C_1}{{}_5C_2} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Aが黒玉を2個取り出す確率は、

$\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

次に、Bが黒玉を0個、1個、2個取り出す確率をそれぞれ計算する。

Bが黒玉を0個取り出す確率は、

$\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

Bが黒玉を1個取り出す確率は、

$\frac{{}_2C_1 \cdot {}_3C_1}{{}_5C_2} = \frac{2 \cdot 3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Bが黒玉を2個取り出す確率は、

$\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

Aが勝つ確率は、AとBがともに偶数個またはともに奇数個の黒玉を取り出す確率の合計である。

つまり、Aが0個、Bが0個、またはAが0個、Bが2個、またはAが2個、Bが0個、またはAが2個、Bが2個、またはAが1個、Bが1個のいずれかの場合である。

したがって、Aが勝つ確率は、

$\frac{1}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{10} + \frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{3+1+9+3+36}{100} = \frac{52}{100} = \frac{13}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{25}$