あるクラスで無作為に1人を選んだとき、その人が部活動をしている確率は $5/6$ 、習い事をしている確率は $3/5$ 、部活動も習い事もしていない確率は $1/15$ である。 (1) このクラスで無作為に1人を選んだとき、その人が部活動も習い事もしている確率を求めよ。 (2) 選んだ人が部活動をしていたときの習い事をしている条件付き確率を求めよ。

1. 問題の内容

あるクラスで無作為に1人を選んだとき、その人が部活動をしている確率は $5/6$ 、習い事をしている確率は $3/5$ 、部活動も習い事もしていない確率は $1/15$ である。

(1) このクラスで無作為に1人を選んだとき、その人が部活動も習い事もしている確率を求めよ。

(2) 選んだ人が部活動をしていたときの習い事をしている条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、以下の事象を定義する。

* A: 部活動をしている

* B: 習い事をしている

与えられた確率は以下の通りである。

$P(A) = \frac{5}{6}$

$P(B) = \frac{3}{5}$

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{15}$

(1) 部活動も習い事もしている確率 $P(A \cap B)$ を求める。

まず、$P(A \cup B)$ を求める。

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})$ であるから、

$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

次に、$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ を用いて、$P(A \cap B)$ を求める。

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

$P(A \cap B) = \frac{5}{6} + \frac{3}{5} - \frac{14}{15} = \frac{25}{30} + \frac{18}{30} - \frac{28}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

(2) 部活動をしていたときの習い事をしている条件付き確率 $P(B|A)$ を求める。

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$P(B|A) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 部活動も習い事もしている確率: $\frac{1}{2}$

(2) 部活動をしていたときの習い事をしている条件付き確率: $\frac{3}{5}$