東西に4本、南北に5本の道路がある。A地点から出発した人が最短の道順でB地点に向かう。各交差点で、東に行くか北へ行くかは等確率とし、一方しか行けない場合は確率1でその方向へ行く。以下の問いに答える。 (1) A地点からB地点に行く経路の総数は何通りか。 (2) A地点からP地点を経由してB地点に行く経路は何通りか。 (3) A地点からP地点を経由してB地点に行く確率を求めよ。

1. 問題の内容

東西に4本、南北に5本の道路がある。A地点から出発した人が最短の道順でB地点に向かう。各交差点で、東に行くか北へ行くかは等確率とし、一方しか行けない場合は確率1でその方向へ行く。以下の問いに答える。

(1) A地点からB地点に行く経路の総数は何通りか。

(2) A地点からP地点を経由してB地点に行く経路は何通りか。

(3) A地点からP地点を経由してB地点に行く確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点に行くには、東に3回、北に4回進む必要がある。したがって、経路の総数は、7回の移動のうち、東に3回進む場所を選ぶ組み合わせの数に等しい。これは、組み合わせの公式を用いて計算できる。

(2) A地点からP地点に行くには、東に2回、北に2回進む必要がある。P地点からB地点に行くには、東に1回、北に2回進む必要がある。それぞれの経路の数を求め、掛け合わせることで、A地点からP地点を経由してB地点に行く経路の総数を求める。

(3) A地点からP地点を経由してB地点に行く確率を求めるには、(2)で求めた経路の総数を(1)で求めた経路の総数で割る。

(1)

AからBへの経路の総数は、東3回、北4回の並び方の総数なので、

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

(2)

AからPへの経路の総数は、東2回、北2回の並び方の総数なので、

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

PからBへの経路の総数は、東1回、北2回の並び方の総数なので、

$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$ 通り。

したがって、AからPを経由してBに行く経路の総数は、

$6 \times 3 = 18$ 通り。

(3)

AからPを経由してBに行く確率は、

$\frac{18}{35}$

3. 最終的な答え

(1) 35通り

(2) 18通り

(3) $\frac{18}{35}$