直美さんと由衣さんが数学と英語のテストの結果について話しています。会話文を読みながら、空欄を埋める問題です。特に、数学と英語の平均点、分散、標準偏差、偏差値、順位を計算し、空欄に適切な数字を入れます。

1. 問題の内容

直美さんと由衣さんが数学と英語のテストの結果について話しています。会話文を読みながら、空欄を埋める問題です。特に、数学と英語の平均点、分散、標準偏差、偏差値、順位を計算し、空欄に適切な数字を入れます。

2. 解き方の手順

(1) 数学の平均点

与えられた12人の数学の得点は、1, 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 10です。平均点はこれらの合計を人数で割ったものです。

$平均点 = (1+2+4+4+5+6+6+7+8+9+10+10) / 12 = 72 / 12 = 6$

(2) 数学の分散と標準偏差

数学の分散を計算します。分散は、各データ点と平均点の差の二乗の平均です。

各データ点との差の二乗は次の通りです。

$(1-6)^2=25$, $(2-6)^2=16$, $(4-6)^2=4$, $(4-6)^2=4$, $(5-6)^2=1$, $(6-6)^2=0$, $(6-6)^2=0$, $(7-6)^2=1$, $(8-6)^2=4$, $(9-6)^2=9$, $(10-6)^2=16$, $(10-6)^2=16$

分散の合計は、 $25+16+4+4+1+0+0+1+4+9+16+16 = 96$

分散は $96 / 12 = 8$

標準偏差は分散の平方根なので、 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.41 = 2.82$

問題文より小数第1位を四捨五入するので、標準偏差は3になります。

(3) 数学と英語の偏差値

偏差値は、

$偏差値 = 50 + 10 \times (得点 - 平均点) / 標準偏差$

で計算されます。

数学の偏差値は、 $50 + 10 \times (7 - 6) / 3 = 50 + 10 / 3 \approx 50 + 3.33 = 53.33$

少数第1位を四捨五入すると53。

英語の偏差値の標準偏差は$\sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx \frac{1.41}{2} = 0.705$

英語の偏差値は、$50 + 10 \times (7 - 6) / \sqrt{0.5} \approx 50 + 10 / 0.705 = 50 + 14.18 \approx 64.18$

少数第1位を四捨五入すると64。

(4) 偏差値の基準となる値について

問題文の通り、得点が平均点と同じなら偏差値は50、平均点より標準偏差分だけ高いなら偏差値は60、平均点より標準偏差分だけ低いなら偏差値は40となります。

(5) 数学と英語の順位

数学の偏差値から、上位35%の位置にいるので、12人中上位何位かは、

$12 \times 0.35 = 4.2$

少数第1位を四捨五入して4位。

英語の偏差値から、上位8%の位置にいるので、

$12 \times 0.08 = 0.96$

少数第1位を四捨五入して1位。

3. 最終的な答え

平均点：6点

分散：8点

標準偏差：3点

数学の偏差値：53

英語の偏差値：64

偏差値の基準となる値：50, 60, 40

数学の順位：4位

英語の順位：1位