恵美さんと由衣さんが数学と英語のテストの結果について話している会話から、空欄になっている箇所（分散、標準偏差、偏差値、順位）を計算する問題です。 与えられている情報は、クラスの人数、テストの点数分布、自分の点数、英語のテストの分散などです。

1. 問題の内容

恵美さんと由衣さんが数学と英語のテストの結果について話している会話から、空欄になっている箇所（分散、標準偏差、偏差値、順位）を計算する問題です。

与えられている情報は、クラスの人数、テストの点数分布、自分の点数、英語のテストの分散などです。

2. 解き方の手順

(1) 数学の分散と標準偏差を求める

与えられた数学の点数データ $1, 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 10$ から、平均値を計算します。

平均値 $= (1+2+4+4+5+6+6+7+8+9+10+10)/12 = 72/12 = 6$

分散を計算します。

分散 $= \frac{\sum_{i=1}^{12} (x_i - \bar{x})^2}{12}$

$= [(1-6)^2 + (2-6)^2 + (4-6)^2 + (4-6)^2 + (5-6)^2 + (6-6)^2 + (6-6)^2 + (7-6)^2 + (8-6)^2 + (9-6)^2 + (10-6)^2 + (10-6)^2]/12$

$= [25 + 16 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 16]/12$

$= 96/12 = 8$

標準偏差を計算します。

標準偏差 $= \sqrt{分散} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.41 = 2.82$

(2) 数学と英語の偏差値を求める

数学の偏差値の式：$\text{偏差値} = 50 + \frac{\text{得点} - \text{平均点}}{\text{標準偏差}} \times 10$

由衣さんの数学の得点 $7$、平均点 $6$、標準偏差 $2\sqrt{2}$ なので、数学の偏差値は、

$\text{数学の偏差値} = 50 + \frac{7 - 6}{2\sqrt{2}} \times 10 = 50 + \frac{10}{2\sqrt{2}} = 50 + \frac{5}{\sqrt{2}} = 50 + \frac{5\sqrt{2}}{2} = 50 + \frac{5 \times 1.41}{2} = 50 + \frac{7.05}{2} = 50 + 3.525 \approx 53.5$

小数第1位を四捨五入すると、54 となります。

英語の分散は $0.5$ なので、標準偏差は $\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.41}{2} = 0.705$

由衣さんの英語の得点 $7$、平均点 $6$、標準偏差 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、英語の偏差値は、

$\text{英語の偏差値} = 50 + \frac{7 - 6}{\sqrt{2}/2} \times 10 = 50 + \frac{10}{\sqrt{2}/2} = 50 + \frac{20}{\sqrt{2}} = 50 + \frac{20\sqrt{2}}{2} = 50 + 10\sqrt{2} = 50 + 10 \times 1.41 = 50 + 14.1 = 64.1$

小数第1位を四捨五入すると、64 となります。

(3) 数学と英語の順位を求める

数学の偏差値は上位36%の位置にいるので、12人中 $12 \times 0.36 = 4.32$

小数点以下を四捨五入して考えると 4 と 5 の間になります。

$4.5/12.5 = x/(4.5 - 0.5) \rightarrow 4.5/12.5 = x/4 \rightarrow x = 4 \times 4.5/12.5= 1.44 \approx 1$

$3+1+4 \approx 4$

英語の偏差値は上位8%の位置にいるので、12人中 $12 \times 0.08 = 0.96$

順位 $= 0.5 \times 1+1-0.5 = 1+1-0.5 = 1.5$

少数第一位を四捨五入すると、1 となります。

3. 最終的な答え

分散は 8、標準偏差は $2.8$、数学の偏差値は 54、英語の偏差値は 64、数学の順位は 4位、英語の順位は 1位。