空間内に2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられている。 $l_1: (x, y, z) = (1, 1, 0) + s(1, 1, -1)$ $l_2: (x, y, z) = (-1, 1, -2) + t(0, -2, 1)$ ただし、$s, t$ は媒介変数である。 (1) $l_2$ 上の点 $A(-1, 1, -2)$ から $l_1$ へ下ろした垂線の足 $H$ の座標を求める。 (2) $l_1, l_2$ 上にそれぞれ点 $P, Q$ をとるとき、線分 $PQ$ の長さの最小値を求める。

1. 問題の内容

空間内に2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられている。

$l_1: (x, y, z) = (1, 1, 0) + s(1, 1, -1)$

$l_2: (x, y, z) = (-1, 1, -2) + t(0, -2, 1)$

ただし、$s, t$ は媒介変数である。

(1) $l_2$ 上の点 $A(-1, 1, -2)$ から $l_1$ へ下ろした垂線の足 $H$ の座標を求める。

(2) $l_1, l_2$ 上にそれぞれ点 $P, Q$ をとるとき、線分 $PQ$ の長さの最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $H$ は $l_1$ 上の点なので、

$H(1+s, 1+s, -s)$ と表せる。

ベクトル $\vec{AH}$ は $\vec{AH} = (1+s-(-1), 1+s-1, -s-(-2)) = (2+s, s, 2-s)$

$\vec{AH}$ が $l_1$ の方向ベクトル $\vec{d_1} = (1, 1, -1)$ と垂直であることから、

$\vec{AH} \cdot \vec{d_1} = 0$

$(2+s)(1) + s(1) + (2-s)(-1) = 0$

$2+s+s-2+s = 0$

$3s = 0$

$s = 0$

したがって、$H(1, 1, 0)$

(2)

$P(1+s, 1+s, -s)$、$Q(-1, 1-2t, -2+t)$ とおくと、

$\vec{PQ} = (-2-s, -2t-s, -2+t+s)$

$PQ$ が最小となるのは、$\vec{PQ}$ が $\vec{d_1}=(1,1,-1)$ と $\vec{d_2}=(0,-2,1)$ に垂直となるときである。

$\vec{PQ} \cdot \vec{d_1} = (-2-s) + (-2t-s) + (-1)(-2+t+s) = -2-s-2t-s+2-t-s = -3s-3t = 0$

$s+t = 0$

$\vec{PQ} \cdot \vec{d_2} = (-2-s)(0) + (-2t-s)(-2) + (-2+t+s)(1) = 4t+2s-2+t+s = 3s+5t-2 = 0$

$3s+5t = 2$

$s+t=0$ より $s=-t$ を代入すると

$-3t+5t = 2$

$2t = 2$

$t = 1$

$s = -1$

よって $P(0, 0, 1)$, $Q(-1, -1, -1)$

$\vec{PQ} = (-1, -1, -2)$

$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $H(1, 1, 0)$

(2) $\sqrt{6}$