四面体 $OABC$ の6つの辺の長さが与えられている。 $OA = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{5}$, $OC = \sqrt{6}$, $AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$ (1) $\triangle OAC$ の面積を求める。 (2) 四面体 $OABC$ の体積を求める。

1. 問題の内容

四面体 $OABC$ の6つの辺の長さが与えられている。

$OA = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{5}$, $OC = \sqrt{6}$, $AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$

(1) $\triangle OAC$ の面積を求める。

(2) 四面体 $OABC$ の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle OAC$ の面積を求める。

ヘロンの公式を利用する。$OA = \sqrt{10}$, $OC = \sqrt{6}$, $AC = 2\sqrt{2}$

$s = \frac{OA + OC + AC}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{2}$

$\triangle OAC$ の面積を $S$ とすると、

$S = \sqrt{s(s-OA)(s-OC)(s-AC)}$ を計算するのは大変なので、余弦定理を利用する。

$\cos{\angle OAC} = \frac{OA^2 + AC^2 - OC^2}{2 \cdot OA \cdot AC} = \frac{10 + 8 - 6}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{12}{4\sqrt{20}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$

$\sin^2{\angle OAC} = 1 - \cos^2{\angle OAC} = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$

$\sin{\angle OAC} = \sqrt{\frac{11}{20}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}$

$S = \frac{1}{2} OA \cdot AC \cdot \sin{\angle OAC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{220}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{44}}{2} = \frac{2\sqrt{11}}{2} = \sqrt{11}$

(2) 四面体 $OABC$ の体積を求める。

$\triangle ABC$ について、$AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$ なので、$AB = BC$ の二等辺三角形である。

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{5 + 8 - 5}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{8}{4\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

$\sin^2{\angle BAC} = 1 - \cos^2{\angle BAC} = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\sin{\angle BAC} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{2\sqrt{150}}{10} = \frac{\sqrt{150}}{5} = \frac{5\sqrt{6}}{5} = \sqrt{6}$

点 $B$ から平面 $OAC$ に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、四面体 $OABC$ の体積 $V$ は

$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle OAC \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{11} \cdot h$

$OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2OA \cdot AB \cos(\angle OAB)$

$\cos \angle OAB = \frac{OA^2 + AB^2 - OB^2}{2OA \cdot AB} = \frac{10+5-5}{2\sqrt{10} \sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle OAB = \frac{\pi}{4}$

体積を求めるのは難しいので，ベクトルを使う．

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とおく。

$V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}|$

$OA = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{5}$, $OC = \sqrt{6}$, $AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$

四面体 $OABC$ の体積は $\frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle OAC$ の面積は $\sqrt{11}$

(2) 四面体 $OABC$ の体積は $\frac{1}{3}$