四面体$OABC$において、$OA = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{5}$, $OC = \sqrt{6}$, $AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$である。 (1) $\triangle OAC$の面積を求めよ。 (2) 四面体$OABC$の体積を求めよ。

1. 問題の内容

四面体$OABC$において、$OA = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{5}$, $OC = \sqrt{6}$, $AB = \sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{5}$である。

(1) $\triangle OAC$の面積を求めよ。

(2) 四面体$OABC$の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle OAC$の面積を求める。

ヘロンの公式を利用する。

$OA = \sqrt{10}$, $AC = 2\sqrt{2}$, $OC = \sqrt{6}$

$s = \frac{OA + AC + OC}{2} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

ヘロンの公式より、面積$S$は、

$S = \sqrt{s(s-OA)(s-AC)(s-OC)}$

しかし、ヘロンの公式を使わずに余弦定理を使う方が計算が楽である。

$\cos \angle OAC = \frac{OA^2 + AC^2 - OC^2}{2 \cdot OA \cdot AC} = \frac{10 + 8 - 6}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{12}{4\sqrt{20}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$

$\sin^2 \angle OAC = 1 - \cos^2 \angle OAC = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$

$\sin \angle OAC = \sqrt{\frac{11}{20}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}$

$S = \frac{1}{2} OA \cdot AC \cdot \sin \angle OAC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{20}\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} = \sqrt{11}$

(2) 四面体$OABC$の体積を求める。

$AB = \sqrt{5}$, $BC = \sqrt{5}$なので、$\triangle ABC$は二等辺三角形である。

$AC = 2\sqrt{2}$

$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{5 + 5 - 8}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ABC} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \sqrt{6}$

四面体の体積を求めるのは難しいので、別の方法を検討する。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle OAC$の面積は、$\sqrt{11}$

(2) 四面体$OABC$の体積は、