問題3の(2)を解きます。$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ であり、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち、$\tan \theta + 3 = 0$ を満たすとき、他の2つの値($\sin \theta$と$\cos \theta$)を求めよ。

1. 問題の内容

問題3の(2)を解きます。$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ であり、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち、$\tan \theta + 3 = 0$ を満たすとき、他の2つの値($\sin \theta$と$\cos \theta$)を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: $\tan \theta$ の値を求める。

与えられた条件より、

$\tan \theta + 3 = 0$

$\tan \theta = -3$

ステップ2: $\cos \theta$ の値を求める。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係を使う。

$1 + (-3)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 9 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$10 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan \theta = -3 < 0$ であり、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$。

したがって、$\cos \theta < 0$ である。

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

ステップ3: $\sin \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を使う。

$-3 = \frac{\sin \theta}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}$

$\sin \theta = -3 \times (-\frac{\sqrt{10}}{10})$

$\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$