$\tan \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ( $0 < \alpha < \pi$ ) のとき、$\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ( $0 < \alpha < \pi$ ) のとき、$\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \alpha$ の値から$\cos \alpha$ の値を求める。$0 < \alpha < \pi$ より、$\alpha$ が第1象限または第2象限の角であることに注意する。

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}$ の関係式を用いる。

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + (\frac{\sqrt{21}}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{21}{4}} = \frac{1}{\frac{25}{4}} = \frac{4}{25}$

よって、$\cos \alpha = \pm \frac{2}{5}$ となる。

$0 < \alpha < \pi$ であるから、$\frac{\alpha}{2}$ は $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ の範囲にある。

したがって、$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ である。

半角の公式 $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ を用いる。

$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ より、$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ となる。

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} > 0$ より、$\alpha$ は第1象限の角である。

したがって、$\cos \alpha = \frac{2}{5}$ である。

$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{7}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{10}} = \frac{\sqrt{70}}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{70}}{10}$