$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、 (1) $4\sin\theta = 3$ のときの $\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。 (2) $\tan\theta + 3 = 0$ のときの $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、

(1) $4\sin\theta = 3$ のときの $\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

(2) $\tan\theta + 3 = 0$ のときの $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $4\sin\theta = 3$ より、$\sin\theta = \frac{3}{4}$。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

よって、$\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$。

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、$\sin\theta \geq 0$ である。

$\sin\theta = \frac{3}{4} > 0$ なので、$\theta$ は第1象限または第2象限の角である。

$\theta$ が第1象限の角の場合、$\cos\theta > 0$ であり、$\theta$ が第2象限の角の場合、$\cos\theta < 0$ である。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\tan\theta + 3 = 0$ より、$\tan\theta = -3$。

$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ であるから、

$\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$

よって、$\cos^2\theta = \frac{1}{10}$。

$\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan\theta = -3 < 0$ なので、$\theta$ は第2象限の角である。

よって、$\cos\theta < 0$ であるから、$\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = -3 \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$。

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$、$\tan\theta = \pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$、$\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$