円に内接する四角形ABCDがあり、ADとBCの交点をE、ABとCDの交点をFとする。$\angle E = \beta = 30^\circ$、$\angle F = \alpha = 40^\circ$ のとき、$\angle ADC = \delta$ を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、ADとBCの交点をE、ABとCDの交点をFとする。$\angle E = \beta = 30^\circ$、$\angle F = \alpha = 40^\circ$ のとき、$\angle ADC = \delta$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAD = \gamma$ と置く。

四角形ABCDは円に内接するので、内対角の和は180°である。

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - \gamma$

$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - \delta$

三角形AFBにおいて、

$\angle FAB + \angle FBA + \angle AFB = 180^\circ$

$\gamma + (180^\circ - \delta) + 40^\circ = 180^\circ$

$\gamma - \delta = -40^\circ$

$\gamma = \delta - 40^\circ$

三角形DECにおいて、

$\angle EDC + \angle DCE + \angle CED = 180^\circ$

$\delta + (180^\circ - \gamma) + 30^\circ = 180^\circ$

$\delta - \gamma = -30^\circ$

$\gamma = \delta - 40^\circ$ を $\delta - \gamma = -30^\circ$ に代入すると、

$\delta - (\delta - 40^\circ) = -30^\circ$

$40^\circ = -30^\circ$ これは誤りなので、別の方法で解く。

三角形FADにおいて、$\angle AFD = \alpha = 40^\circ$

$\angle FAD + \angle FDA + \angle DFA = 180^\circ$

$\angle FAD = \gamma$, $\angle FDA = \delta$

$\gamma + \delta + 40 = 180$

$\gamma + \delta = 140^\circ$

三角形EABにおいて、$\angle AEB = \beta = 30^\circ$

$\angle EAB + \angle EBA + \angle BEA = 180^\circ$

$\angle EAB = \gamma$, $\angle EBA = 180^\circ - \delta$

$\gamma + (180 - \delta) + 30 = 180$

$\gamma - \delta = -30$

$\gamma = \delta - 30$

$\gamma + \delta = 140$ に $\gamma = \delta - 30$ を代入すると

$(\delta - 30) + \delta = 140$

$2\delta - 30 = 140$

$2\delta = 170$

$\delta = 85^\circ$

3. 最終的な答え

85°