半径2cm、中心角120°のおうぎ形PQRが、直線l上を問題文に示された3つの操作に従って移動するとき、点Pが描く線の長さを求める問題です。ただし、円周率は$\pi$を用いないこと。

1. 問題の内容

半径2cm、中心角120°のおうぎ形PQRが、直線l上を問題文に示された3つの操作に従って移動するとき、点Pが描く線の長さを求める問題です。ただし、円周率は$\pi$を用いないこと。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの操作で点Pが描く軌跡を考えます。

操作1：点Qを中心に90°回転

点Pは点Qを中心とした半径PQ=2cmの扇形の弧を描きます。回転角は90°なので、この弧の長さは、

$2\pi \times 2 \times \frac{90}{360} = 2\pi \times 2 \times \frac{1}{4} = \pi$ cm。

操作2：弧QRが直線lに接しながら転がる

点Pは直線に沿って移動します。弧QRの長さは$2\pi \times 2 \times \frac{120}{360} = 2\pi \times 2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\pi$ cmです。

したがって点Pは$\frac{4}{3}\pi$ cmだけ直線l上を移動します。

操作3：点Rを中心に90°回転

点Pは点Rを中心とした半径PR=2cmの扇形の弧を描きます。回転角は90°なので、この弧の長さは、

$2\pi \times 2 \times \frac{90}{360} = 2\pi \times 2 \times \frac{1}{4} = \pi$ cm。

したがって、点Pが描く線の長さは、操作1での弧の長さ、操作2での直線部分の長さ、操作3での弧の長さを足し合わせたものです。

点Pが描く線の長さ = (操作1の弧の長さ) + (操作2の直線部分の長さ) + (操作3の弧の長さ)

$= \pi + \frac{4}{3}\pi + \pi$

3. 最終的な答え

$\pi + \frac{4}{3}\pi + \pi = \frac{3\pi + 4\pi + 3\pi}{3} = \frac{10}{3}\pi$

答え: $\frac{10}{3}\pi$ cm