1. 問題の内容
3つの図において、点Oは三角形ABCの外心である。それぞれの図で角度αを求めよ。
2. 解き方の手順
(1)
点Oが三角形ABCの外心なので、OA = OBとなる。したがって、三角形OABは二等辺三角形である。
角AOBは、角AOC + 角BOC + 角AOB = 360°の関係から求める必要がある。
しかし、角AOCと角BOCが直接的に与えられていない。
三角形OBCも二等辺三角形であり、OB = OCなので、角OBC = 角OCB = 30°。よって角BOC = 180° - 30° - 30° = 120°。
同様に、三角形OACも二等辺三角形であり、OA = OCなので、角OAC = 角OCA = 20°。よって角AOC = 180° - 20° - 20° = 140°。
したがって、角AOB = 360° - 120° - 140° = 100°。
三角形OABはOA = OBの二等辺三角形なので、角OAB = 角OBA = α。
三角形の内角の和は180°なので、α + α + 100° = 180°。
2α = 80°。
α = 40°。
(2)
点Oが三角形ABCの外心なので、OA = OBとなる。したがって、三角形OABは二等辺三角形である。
よって角OAB = 角OBA = α。角AOBは180° - 2αとなる。
角BACは40°+50°=90°なので、三角形ABCは直角三角形である。
外心Oは斜辺BCの中点となる。
したがって、OA = OB = OC。
角OBA = α = 角OAB = 40°。
(3)
点Oが三角形ABCの外心なので、OB = OCとなる。したがって、三角形OBCは二等辺三角形である。よって、角OBC = α。
三角形OABはOA = OBなので二等辺三角形となり、角OAB = 角OBA = 25°。よって角AOB = 180° - 25° - 25° = 130°。
三角形OACはOA = OCなので二等辺三角形となり、角OAC = 角OCA = 45°。よって角AOC = 180° - 45° - 45° = 90°。
よって角BOC = 360° - 角AOB - 角AOC = 360° - 130° - 90° = 140°。
三角形OBCはOB = OCの二等辺三角形なので、角OBC = 角OCB = α。
三角形の内角の和は180°なので、α + α + 140° = 180°。
2α = 40°。
α = 20°。
3. 最終的な答え
(1) α = 40°
(2) α = 40°
(3) α = 20°