角の二等分線の性質より、$BD/DC = AB/AC = 3/2$。

## 問題の概要

三角形 ABC において、AB = 3, AC = 2 とする。角 BAC の二等分線と辺 BC の交点を D, 辺 AC の中点を E, AD と BE の交点を P とし、直線 CP と辺 AB の交点を F とする。このとき、AF と BP/PE を求める。

## 解き方の手順

1. **角の二等分線の性質を利用して BD/DC を求める:**

角の二等分線の性質より、$BD/DC = AB/AC = 3/2$。

2. **チェバの定理を利用して AF/FB を求める:**

チェバの定理より、

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$。

CE = EA なので CE/EA = 1。

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 = 1$

$\frac{AF}{FB} = \frac{2}{3}$

$AF = \frac{2}{5}AB = \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{6}{5}$

よって、$FB = AB - AF = 3 - \frac{6}{5} = \frac{9}{5}$.

$\frac{AF}{FB} = \frac{6/5}{9/5} = \frac{2}{3}$となる。

3. **メネラウスの定理を利用して BP/PE を求める:**

三角形 ACE と直線 BD に対してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CB}{BE} \cdot \frac{EP}{PA} = 1$

メネラウスの定理より、三角形 ABE と直線 CD に対して、

$\frac{BC}{CD} \cdot \frac{DP}{PA} \cdot \frac{AF}{FE} = 1$

4. **さらに、メネラウスの定理を利用して BP/PE を求める:**

三角形 CBE と直線 AD に対してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EP}{PB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$

$CA = 2$, $AE = 1$, $BD/DC = 3/2$より、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{EP}{PB} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$3 \cdot \frac{EP}{PB} = 1$

$\frac{EP}{PB} = \frac{1}{3}$

$\frac{PB}{EP} = 3$

$BP = 3PE$

## 最終的な答え

AF = 6/5

BP = 3 PE