三角形ABCにおいて、辺AB, BC, CAの中点をそれぞれD, E, Fとする。三角形ABCと三角形ADFの重心をそれぞれG, Pとする。AB = 9, AC = 10, AE = 9のとき、DE, EF, AG, AP, PGの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB, BC, CAの中点をそれぞれD, E, Fとする。三角形ABCと三角形ADFの重心をそれぞれG, Pとする。AB = 9, AC = 10, AE = 9のとき、DE, EF, AG, AP, PGの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) DEの長さを求める。D, EはそれぞれAB, BCの中点なので、中点連結定理より $DE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$。

(2) EFの長さを求める。E, FはそれぞれBC, CAの中点なので、中点連結定理より $EF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 9 = \frac{9}{2}$。

(3) 重心Gは中線を2:1に内分するので、$AG = \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3} \times 9 = 6$。

(4) D, FはそれぞれAB, CAの中点なので、$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{9}{2}$、$AF = \frac{1}{2}AC = 5$。重心Pは三角形ADFの中線を2:1に内分するので、$AP = \frac{2}{3}AM$。MはDFの中点である。中点連結定理により、$DF = \frac{1}{2}BC$。AFの中点なので AMはAEと異なることに注意。

ここで、AEの中点までの距離を考える。三角形ADFの重心Pは中線上にあり、Pは重心なので、Aから中点までの距離の$\frac{2}{3}$がAPになる。FはACの中点であるから、$AF = \frac{1}{2}AC = 5$、$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{9}{2}$。APは三角形ADFの中線上の点であり、ADFの重心であるから、$AP = \frac{2}{3}AF=\frac{2}{3}AC \frac{1}{2} = \frac{2}{3}*5 = \frac{10}{3}$.

(5) $AG = 6$, $AP = \frac{10}{3}$なので、$PG = AG - AP = 6 - \frac{10}{3} = \frac{18}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$。

3. 最終的な答え

DE = 5

EF = 9/2

AG = 6

AP = 10/3

PG = 8/3