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三角形ABCにおいて、$BC = 2$, $AC = 4$, 面積が$\frac{3\sqrt{7}}{2}$である。 (1) $\sin \angle ACB$を求める。 (2) 辺ABの長さを求める。また、辺BCのC側の延長線上に点Dをとるとき、$\cos \angle ACD$を求める。 (3) (2)の点Dを、三角形ACDの外接円の半径が三角形ABCの外接円の半径の2倍となるようにとる。線分ADの長さを求めよ。また、三角形ABDの面積を求めよ。

幾何学三角形正弦定理余弦定理面積角度外接円
2025/7/29
## 問題の解説

1. **問題の内容**

三角形ABCにおいて、BC=2BC = 2, AC=4AC = 4, 面積が372\frac{3\sqrt{7}}{2}である。
(1) sin⁡∠ACB\sin \angle ACBを求める。
(2) 辺ABの長さを求める。また、辺BCのC側の延長線上に点Dをとるとき、cos⁡∠ACD\cos \angle ACDを求める。
(3) (2)の点Dを、三角形ACDの外接円の半径が三角形ABCの外接円の半径の2倍となるようにとる。線分ADの長さを求めよ。また、三角形ABDの面積を求めよ。

2. **解き方の手順**

(1) 三角形ABCの面積の公式より、
12×BC×AC×sin⁡∠ACB=372\frac{1}{2} \times BC \times AC \times \sin \angle ACB = \frac{3\sqrt{7}}{2}
12×2×4×sin⁡∠ACB=372\frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \sin \angle ACB = \frac{3\sqrt{7}}{2}
4sin⁡∠ACB=3724 \sin \angle ACB = \frac{3\sqrt{7}}{2}
sin⁡∠ACB=378\sin \angle ACB = \frac{3\sqrt{7}}{8}
(2) 余弦定理より、
AB2=AC2+BC2−2×AC×BC×cos⁡∠ACBAB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos \angle ACB
sin⁡2∠ACB+cos⁡2∠ACB=1\sin^2 \angle ACB + \cos^2 \angle ACB = 1より、
cos⁡2∠ACB=1−sin⁡2∠ACB=1−(378)2=1−6364=164\cos^2 \angle ACB = 1 - \sin^2 \angle ACB = 1 - (\frac{3\sqrt{7}}{8})^2 = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}
∠ACB\angle ACBは鋭角なので、cos⁡∠ACB=18\cos \angle ACB = \frac{1}{8}
AB2=42+22−2×4×2×18=16+4−2=18AB^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \times 4 \times 2 \times \frac{1}{8} = 16 + 4 - 2 = 18
AB=18=32AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
∠ACD=180∘−∠ACB\angle ACD = 180^\circ - \angle ACBなので、cos⁡∠ACD=cos⁡(180∘−∠ACB)=−cos⁡∠ACB=−18\cos \angle ACD = \cos(180^\circ - \angle ACB) = -\cos \angle ACB = -\frac{1}{8}
(3) △ACD\triangle ACDの外接円の半径をRACDR_{ACD}、△ABC\triangle ABCの外接円の半径をRABCR_{ABC}とすると、RACD=2RABCR_{ACD} = 2R_{ABC}である。
正弦定理より、
ABsin⁡∠ACB=2RABC\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R_{ABC}
ADsin⁡∠ACD=2RACD=4RABC\frac{AD}{\sin \angle ACD} = 2R_{ACD} = 4R_{ABC}
したがって、
ADsin⁡∠ACD=4×AB2sin⁡∠ACB\frac{AD}{\sin \angle ACD} = 4 \times \frac{AB}{2 \sin \angle ACB}
ADsin⁡∠ACD=2ABsin⁡∠ACB\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{2AB}{\sin \angle ACB}
AD=2ABsin⁡∠ACDsin⁡∠ACBAD = \frac{2AB \sin \angle ACD}{\sin \angle ACB}
sin⁡∠ACD=sin⁡(180∘−∠ACB)=sin⁡∠ACB=378\sin \angle ACD = \sin (180^\circ - \angle ACB) = \sin \angle ACB = \frac{3\sqrt{7}}{8}
AD=2×32×378378=62AD = \frac{2 \times 3\sqrt{2} \times \frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} = 6\sqrt{2}
CD=xCD = xとおくと、BD=BC+CD=2+xBD = BC + CD = 2+x
余弦定理より、
AD2=AC2+CD2−2×AC×CD×cos⁡∠ACDAD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \times AC \times CD \times \cos \angle ACD
(62)2=42+x2−2×4×x×(−18)(6\sqrt{2})^2 = 4^2 + x^2 - 2 \times 4 \times x \times (-\frac{1}{8})
72=16+x2+x72 = 16 + x^2 + x
x2+x−56=0x^2 + x - 56 = 0
(x+8)(x−7)=0(x+8)(x-7) = 0
x>0x > 0より、x=7x=7
よって、BD=2+7=9BD = 2 + 7 = 9
△ABD\triangle ABDの面積は、
△ABD=12×AB×BD×sin⁡∠ABC\triangle ABD = \frac{1}{2} \times AB \times BD \times \sin \angle ABC
cos⁡∠ABC\cos \angle ABCについて、余弦定理より
AC2=AB2+BC2−2×AB×BC×cos⁡∠ABCAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos \angle ABC
16=18+4−2×32×2×cos⁡∠ABC16 = 18 + 4 - 2 \times 3\sqrt{2} \times 2 \times \cos \angle ABC
16=22−122cos⁡∠ABC16 = 22 - 12\sqrt{2} \cos \angle ABC
122cos⁡∠ABC=612\sqrt{2} \cos \angle ABC = 6
cos⁡∠ABC=6122=122=24\cos \angle ABC = \frac{6}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}
sin⁡2∠ABC+cos⁡2∠ABC=1\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1より、
sin⁡2∠ABC=1−(24)2=1−216=1−18=78\sin^2 \angle ABC = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
∠ABC\angle ABCは鋭角なので、sin⁡∠ABC=144\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{14}}{4}
△ABD=12×32×9×144=27288=27×278=2774\triangle ABD = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times 9 \times \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{27 \sqrt{28}}{8} = \frac{27 \times 2\sqrt{7}}{8} = \frac{27\sqrt{7}}{4}

3. **最終的な答え**

(1) sin⁡∠ACB=378\sin \angle ACB = \frac{3\sqrt{7}}{8}
(2) AB=32AB = 3\sqrt{2}, cos⁡∠ACD=−18\cos \angle ACD = -\frac{1}{8}
(3) AD=62AD = 6\sqrt{2}, △ABD=2774\triangle ABD = \frac{27\sqrt{7}}{4}

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