(1) 点A(0, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求めよ。 (2) 点A(-2, 0)からの距離と点B(1, 0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点A(0, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求めよ。

(2) 点A(-2, 0)からの距離と点B(1, 0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を(x, y)とする。点A(0, 0)と点P(x, y)の距離PAは、

$PA = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

点B(3, 0)と点P(x, y)の距離PBは、

$PB = \sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

条件より、PA:PB = 1:2なので、2PA = PBである。

$2\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$4(x^2 + y^2) = (x-3)^2 + y^2$

$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$3x^2 + 6x + 3y^2 = 9$

$x^2 + 2x + y^2 = 3$

$(x+1)^2 - 1 + y^2 = 3$

$(x+1)^2 + y^2 = 4$

これは中心(-1, 0)、半径2の円である。

(2) 点Pの座標を(x, y)とする。点A(-2, 0)と点P(x, y)の距離PAは、

$PA = \sqrt{(x+2)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

点B(1, 0)と点P(x, y)の距離PBは、

$PB = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

条件より、PA:PB = 2:1なので、PA = 2PBである。

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x+2)^2 + y^2 = 4((x-1)^2 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$3x^2 - 12x + 3y^2 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

$(x-2)^2 - 4 + y^2 = 0$

$(x-2)^2 + y^2 = 4$

これは中心(2, 0)、半径2の円である。

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^2 + y^2 = 4$ (中心(-1, 0), 半径2の円)

(2) $(x-2)^2 + y^2 = 4$ (中心(2, 0), 半径2の円)