ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求めるために、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) - (3)(3) \\ (3)(-1) - (2)(2) \\ (2)(3) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 \\ -3 - 4 \\ 6 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix}$

(2) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさを計算する。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49 + 49} = \sqrt{3 \times 49} = \sqrt{3} \times 7 = 7\sqrt{3}$

(3) 単位ベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ で割る。

$\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{7\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

(4) もう一つの単位ベクトルは、$\vec{n}$ の符号を反転させたものになる。

$-\vec{n} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

したがって、求める単位ベクトルは、$\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ である。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$